大一高数第一章函数与极限知识点数学笔记-同济第七版高数

导读对于一个函数f(x)allε>0,existδ>0,当0<|x-a|<δ,有|f(x)-A|<ε，今天小编就来聊一聊关于大一高数第一章函数与极限知识点?接下....

对于一个函数f(x)all ε>0, exist δ>0, 当0<|x-a|<δ, 有|f(x)-A|<ε，今天小编就来聊一聊关于大一高数第一章函数与极限知识点?接下来我们就一起去研究一下吧!

大一高数第一章函数与极限知识点

1、自变量趋向有限值时函数极限定义

对于一个函数f(x)

all ε>0, exist δ>0, 当0<|x-a|<δ, 有|f(x)-A|<ε

就称lim(x->a)f(x)=A

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也就是说，对于任意小的一个数ε，都会存在一个范围，这个范围就是a的δ去心邻域，也就是0<|x-a|<δ，这个范围里面多有函数值和A之间的“误差”都小于A，就称A是x趋向于a的极限

2、性质

（1）唯一性

（反证法）可以参考前面数列极限的证明方法

（2）局部有界：lim(x->a)f(x)=A, 则exist δ>0 M>0, 当0<|x-a|<δ 时，|f(x)|<=M

这个相比较数列极限全部有界来说证明方法较简单

由函数极限定义可知在0<|x-a|<δ这个范围内f(x)与极限A的“误差”不超过ε，所以当M=max{|A ε|,|A-ε|}时，|f(x)|<M (0<|x-a|<δ)

（3）保号性：如果lim(x->a)f(x)=A, 且A>0, 那么存在常数δ>0, 使得当0<|x-a|<δ时，有f(x)>0，反之也成立。

证(A>0时)：

∵lim(x->a)f(x)=A

取ε=A/2>0 (ε可以任意取，越小越好)

exist δ>0

当0<|x-a|<δ时，|f(x)-A|<ε

即|f(x)-A|<A/2

4、自变量趋向于无穷大函数极限

（1|正无穷）If all ε>0, exist X>0, 当x>X时, |f(x)-A|<ε, lim(x-> ∞)f(x)=A

（2|负无穷）If all ε>0, exist X>0, 当x<-X时, |f(x)-A|<ε, lim(x->-∞)f(x)=A

（3|无穷）If all ε>0, exist X>0, 当|x|>X时, |f(x)-A|<ε, lim(x->∞)f(x)=A

5、例题

例1：lim(x->2)(3x 1)=7

all ε>0 |(3x 1)-7|=3|x-2|<ε <=> |x-2|<ε/3

exist δ=ε/3

当 0<|x-2|<δ时, |(3x 1)-7|<ε

∴lim(x->2)(3x 1)=7

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例2：lim(x->1)(2x^2-x-1)/(x-1)=3

all ε>0 |(2x^2-x-1)/(x 1)-3|=2|x-1|<ε <=> |x-1|<ε/2

exist δ=ε/2

当 0<|x-1|<δ时, |(2x^2-x-1)/(x 1)-3|<ε

∴lim(x->1)(2x^2-x-1)/(x-1)=3

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例3：lim(x->∞)(2x^2)/(x^2)=2

all ε>0 |(2x^2)/(x^2)-2|=1/(x^2)<ε <=> |x|>1/(√ε)

exist X=1/(√ε) (ps：前面对于趋向无穷时定义就是用X表示的)

当|x|>X时 |(2x^2)/(x^2)-2|<ε（无穷情况是|x|>X,正无穷情况是x>X,负无穷情况是x<-X）

∴lim(x->∞)(2x^2)/(x^2)=2