从样本推算总体均值如何通过样本数据推断其分布

发布时间：2026-07-25阅读(1)

导读1.问题运筹模拟的时候，我们通常会给定，某事件服从正态分布/指数分布之类。问题是，我们通常只能观察到样本数据，没有办法观察到其具体服从的分布。所谓服从什么分....

1. 问题

运筹模拟的时候，我们通常会给定，某事件服从正态分布/指数分布之类。问题是，我们通常只能观察到样本数据，没有办法观察到其具体服从的分布。所谓服从什么分布，是需要我们从样本数据推测的。

那么问题来了，怎样从数据推测出其所服从的分布(goodness of fit)呢？

2. 分析

市面上有一些专业的统计软件，可以做到从数据到分布的推测。比如Stat::Fit。但289美元的价格可着实不低。所以我们需要另想办法。

常见分布匹配的方法有很多，比如

Bayesian information criterion
Kolmogorov–Smirnov test
Cramér–von Mises criterion
Anderson–Darling test
Shapiro–Wilk test
Chi-squared test

我们以 KS 测试为例。KS 具体理论很多书籍都有详细解释，这里不再重复。有兴趣的朋友可以关注后回复 ks 获取相关资料。

Scipy 的统计模块 stats，可以做 ks 测试。但有个问题是，分布参数需要我们提供。比如指数分布，其概率密度函数为

这里的 lambda就需要我们自己提供。好在scipy里面有现成的方法可以从数据估算参数，就是用分布函数的fit方法。

于是，我们可以用 fit() 从数据里面先估出分布的参数，然后再用ks test测试其是否满足分布，就可以得出数据到底服从什么分布了。

举个例子。现有一家水煮鱼饭馆，观察到了顾客到来的时间间隔见 data.txt，老板想知道它服从什么分布。

importscipy.statsasstatsimportnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltdata=np.loadtxt(data.txt,delimiter=,,encoding=utf8)dists={norm:stats.norm,lognorm:stats.lognorm,expon:stats.expon}fordindists:paras=dists[d].fit(data)test=stats.kstest(data,dists[d].cdf,paras)print({:1}\tpvalue:{:2}.format(d,test[-1]))

可以得出结果

normpvalue:0.18025230160179895lognormpvalue:0.703843693432498exponpvalue:0.705389895669437

可见，这个最可能服从指数分布，其 loc = 0.1076，scale = 5.56。

打印其结果如下

x = np.arange(0, 20, 0.01)paras = stats.norm.fit(data)ynorm = stats.norm.pdf(x, paras[0], paras[1])paras = stats.lognorm.fit(data)ylognorm = stats.lognorm.pdf(x, paras[0], paras[1], paras[2])paras = stats.expon.fit(data)yexpon = stats.expon.pdf(x, paras[0], paras[1])fig, ax = plt.subplots()ax.plot(x, ynorm, label=norm)ax.plot(x, ylognorm, label=lognorm)ax.plot(x, yexpon, label=expon)ax.legend()

结果为