z111次列车全程感受次列车即将出发

导读作者：沈雷东来源：好玩的数学（ID：mathfun）11²？有没有弄错？读者朋友可能要问。没错，我们就要从这儿出发，悄悄地进入奇妙的数学王国漫游，来到葱郁的....

作者：沈雷东

来源：好玩的数学（ID：mathfun）

11²？有没有弄错？读者朋友可能要问。没错，我们就要从这儿出发，悄悄地进入奇妙的数学王国漫游，来到葱郁的百草园撷趣。你可以遇见奇异的角色、不同的对象，邂逅“贪食蛇”，窥探“金角大王”，观察“兔子家族”，动手搭建“金字塔”，仰望“星空”，说不定你还会有什么发现呢？

1

数

人之初，咿呀学语，认字识数。我们识数是从“1”开始的。一个指头、一个人、一棵树、一朵花儿、一只小狗儿、一间房子、一颗星星等等，给了我们数字“1”的概念。《道德经》上说，道生一，一生二，二生三，三生万物。从 “1”开始我们认识了10以内的数字以及个、十、百、千、万、亿等基数，以至于无穷。

上小学时，我们学会了“＋、－、×、÷”四则运算和乘方、开方等运算。做乘法算术题，两位数乘法就有点烦琐。可是当遇到一个乘数是11时，我们难得喘口粗气；因为无论被乘数多大，只要乘数是11，乘法就变成了加法——列乘法竖式时，先在竖式横杠下面照写一遍被乘数，然后在下一行把被乘数的数字逐位向左移一位，最后把这两行数字相加即可。

有例为证：

这是连机器也会做的算术题。可不是吗？电子计算机就是这样运算的。不仅如此，而且它运算的是二进制数字，它用“开”、“关”两种电路状态分别表示 “0”、“1”数字。

如果被乘数也是11，那么我们简直乐开了花！

再来一个，复杂一点：

再算一个：

111²=111×111怎么样呢?

看呢！数字排成了队，首尾对称！这里蕴藏着什么规律吗？

我们来寻找11的自然数次乘幂，即11ⁿ 的各位数字之间的关系。把这些数字排列、堆叠成一座积木，会怎么样呢？

可以看出图（1-1）的第0（我们不妨假设顶点为第0层）至4层数字依次对应11的0至4次乘幂，而且数字积木每一层中间的数字都是它左、右肩上两个数字之和（如果从第1层起，把首（尾）位的“1”的在积木外面的左（右）肩数字视为 “0”，那么首（尾）位数字也符合这个规律），好像“贪食蛇”，一口吞并前头的两个数字到腹中，又各生长出新的“头”、“尾”。如第4层数字为：1 4 6 4 1，其中4=1 3,6=3 3，均为其左、右肩上两个数字之和 。

第5层呢？第5层对应11的5次乘幂，我们用竖式计算如下：

（1-6）式中相加时，百位和千位的上、下数字之和大于或等于10，超过了1位十进制数字，我们把超过1位数字的和仍然写在本位上，这不影响11的乘幂结果，却为我们考察多项式乘方展开式的系数的规律带来了方便。

为了保持不同数字位的间隔，我们索性把11变成1 i（其中i为字母），于是求解二项式乘方展开式系数，也可以用求解 (1 i)ⁿ 展开式的办法。

2

式

用字母代表数，如用a、b、c等代表数字，施以四则运算、乘方、开方等，我们有单项式（如a、ab等）、多项式（如a b， a b c等）。

又由加法、乘法的运算律：

这些临时已足够，我们对二项式乘方(a b)ⁿ展开。为了便于观察，我们列出竖式：

又有

对比可以看出本节中的多项式相乘竖式与第一节中的多位数相乘竖式本质上是一致的：我们把按字母a的降幂排列的多项式的系数单独拿出来排成一行，如a b的系数排列为

1 1

然后把它整体左移一位（这里的位，表示字母a的幂次），按位与原数字相加，如（1-2）式，得

1 2 1

以此类推，即得二项式n次乘方展开式的各项系数，与第一节中的数字积木（图（1-1））相应层的数字一致。

现在我们用组合的观点观察二项式乘方展开式的各项：

先看 (a b)² 的展开式，它由3个二次项相加，这3个二次项按照字母a的降幂（a的幂指数分别为2、1、0，同时是字母b的升幂）排列，即为

a² ab b²

而二次项的系数是多少呢？

考察(a b)²=(a b)(a b)，它的展开式的每一项是从2个二项式因式中分别取出1个字母，然后相乘得到的。如a²项的系数为1，只有1种取法：从2个二项式因式中取出2个因式(有1种取法)，同时从每一个二项式因式a b中都取出1项a(只有1种取法)。ab项的系数为2，有2种取法：从2个二项式因式中取出1个因式(有2种取法)，同时从这个因式中取出1项a(只有1种取法)，而且从另一个因式中取出1项b(只有1种取法)。同理，b²项的系数为1，只有1种取法。

一般地，我们有

称为二项式定理，其中 为从n件物品中取出k件物品的组合数：

式中n!=1×2×3×…×n，为n的阶乘。

满足杨辉恒等式：

表示(a b)ⁿ的展开式中含a